空间管道弯头制作

一、 写在前面的废话

设计一段或多段弯管将两不共面管道（注意： 不共面意味着两管道不平行，轴线延长后也不相交）连通是我们经常需要遇到的问题。此问题可以说很简单。管道不是机械部件，不需与其它零部件相互配合相对运动，测量和安装制作精度要求没有那么高。如下图所示，$MC_2$和$C_1N$分别为空间不共面的两根管道，$A_2$和$B_1$分别为上、下游管道的上的两点。实际制作时可以先架设好连接管道$A_2B_1$，分别测量出$\angle MA_2B_1$和$\angle A_2B_1N$后再来制作安装弯头，也可以用绳子连接好$A_2B_1$，测量出$\angle MA_2B_1$和$\angle A_2B_1N$后先制作并安装好弯头，然后再来架设中间直管。因为弯头现场制作，直管现场架设，法兰最后安装和焊接，因此我们可以进行修修补补补，法兰角度可以进行一定调整，因此实施起来并不十分困难，稍微机灵一点的检修人员亲自参与制作一两次便能独立完成了，顶多法兰焊得歪一点，制作得不那么美观。

然而，如果要我们测量好尺寸，设计好各段弯头并绘制图纸，从而向外采购内衬聚氨酯、橡胶、陶瓷等耐磨层的成型件来安装使用，事情就变得没那么容易了。其困难主要标下在空间尺寸难以精确测量，原始管道和法兰安装误差大导致绘图、生产和成品检测困难，三维空间尺寸设计计算费时费力三个方面。

1. 两管道的空间尺寸难以精确测量，难以精确地获得其相对位置关系

当两管道均为水平安装(或竖直安装时)，其空间位置测量起来相对简单，我们可以将其投影到一个公共的平行面（水平地面或竖直墙面）测量出其角度及其与公共平面的距离差即可。然而我们所遇到的不可能全是这样的特殊情况。当现实中不存在公共平行面时，即便对于上下游管道没有安装好法兰，我们只需要测量出两管道的角度和垂直距离的情况，只使用钢卷尺、角度尺和倾角尺也没那么容易测量了。当上下游管道已经安装好法兰，需要测量法兰的位置和角度时使用传统的测量手段成为了一个几乎不可能完成的任务。

2. 原始管道和法兰安装误差大导致绘图、生产和成品检测困难

原始管道及其法兰多为现场焊接安装，其安装误差往往比较大，较容易出现法兰和管道不垂直，主管和支管不共面等情况。在这样的情况下，即便能够测量出原始管道及其法兰的精确尺寸，要设计出与原始管道相匹配的弯头、三通等管件并绘制出图纸也不容易。即便能够绘制出图纸，负责生产的厂家要按照此图纸进行加工并对成品尺寸进行测量也很困难。现实的情况是有着过硬技术实例的公司不愿意承接制作单件小批量弯头三通这样的工作，愿意承接此类工作的公司其测量检测仪器及人员技能都比较有限，难以测量所制作管件尺寸与图纸是否相符。

3. 三维空间尺寸设计计算费时费力

虽说三维空间尺寸的设计计算只需要中学水平的几何知识，但因没有现成的方法与流程可供参考，利用空间几何知识从头推导也颇废时间。对于我们设备管理人员来说，这样的计算可以说吃力不讨好，没有几个人愿意做。

对于尺寸难以精确测量的问题，公司现有激光跟踪仪和三维扫描仪等先进仪器可供使用，只要使用方法得当，用于测量管道其测量精度已经足够，颇有一番杀鸡用牛刀的味道。对于原始管道和法兰安装误差大导致绘图、生产和成品检测困难的问题，目前我们没有一套好的方法来应对，只能在初次安装时改动原始管道及其法兰使其匹配尺寸规整的管件。
本文所针对的是三维空间尺寸设计计算费时费力的问题，将设计弯头来连接两不共面管道的工作流程化，目的是提高后续同类工作的效率，降低从事此类工作的门槛。
然而，当设计阶段无管道可供连线时，当需要将所有弯头和连直管一次性制作成型，无法在安装时进行灵活调整时，事情变得不那么容易。首先，两管道相对位置的精确测量便不是一件容易的事情，如何进行精确测量却不是本文所讨论的话题。需说明的是，为了减少测量误差，如使用三维扫描则需尽量扫全。其次，得到相对位置后的数据处理和设计也不是一件容易的事情。数据处理和设计并不需要多么高深的理论知识，中学几何知识足够，只是无现成的操作步骤可供参考，每次都需要根据理论知识来从头设计出方法也颇为耗费时间。
写本文的目的便是根据几次三维扫描和数据处理的经验将此过程固化，以便提升后续工作的效率。

二、 三维扫描过程中的注意事项

三维扫描过程中对于两端头的管道和法兰要尽量扫全，包括圆周方向和管道长度，这是减少误差的有效方法。

三、扫描后的数据处理

1. 分别拟合出上、下游两管道圆柱；
2. 分别拟合出上下游两管道的法兰配合端面。如法兰已经安装而无法扫到配合端面，可拟合出法兰背部端面并进行偏移；
3. 分别做出上下游两管道圆柱与法兰配合端面的交点（称为端交点）；
4. 此时需要根据实际情况判断以何为基准，基准的选取以尽量减少误差为前提。基准可选两端管道的轴线，也可法兰配合端。当选轴线为基准时，需要过端交点做出垂直于轴心线的平面。无论是选取的法兰端面还是垂直于轴线的平面，我们都将其称为基平面；
5. 作出两基平面的交线。注意，因基平面是垂直于管道轴线的，因此上下两端管道均与基平面的交线垂直，因此两基平面的交线是两管道轴心线的公垂线；
6. 分别过端交点做出垂直于公垂线的平面，此时所作出的两平面平行且分别包含了上下游两管道，如图1中的上下两平面。我们将此两平面称为过平行面；
7. 将一段管道的轴线投影到另外一个过平行面内，得到的直线称为投影线；
8. 两过平行面的距离便是两管道间的距离$H$,投影线与另一管道轴线的夹角便是两管道间的夹角$\theta$。
9. 将两管道的轴线和投影线延长，在同一过平行面内的交点便是管道的投影交点，如图中的$C_1$和$C_2$。

四、弯头角度的设计计算

如图1所示，我们需要在测量得一定管道相对位置数据后根据一定要求设计出连接出两空间管道的弯头和直管。

1. 已知条件：

• 两管道之间的夹角$\angle A_1B_1C_1$(或$\angle A_2B_2C_2$)
• 两管道间的距离$C_1C_2$，令其等于$H$;

2. 计算需求：

角度$MA_2B_1$(等于$\beta_2$)、角度$A_2B_1N$(等于$\beta_1$)，长度$A_2B_1$（等于$L$）与距离$A_2C_2$(等于$l_1$)、$B_1B_1$(等于$l_2$)的关系

3. 推导过程

根据三面角余弦定理，有： $$\cos \angle MA_2B_1 = \cos \angle MA_2A_1 \cdot \cos \angle A_1 A_2B_1 + \sin \angle MA_2A_1 \cdot \sin \angle A_1 A_2B_1 \cdot \cos \angle A_2A_1$$ 因为$\angle MA_2A_1 = 90^{\circ}$，所以上式可简化为： $$
\begin{align}
\cos \angle MA_2B_1 &= \sin \angle A_1 A_2B_1 \cdot \cos \angle A_2A_1 \\
&= \frac{A_1B_1}{A_2B_1} \cdot \cos \angle A_2A_1 \\
&= \frac{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1}}{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1+A_1A_2^2}} \cdot \cos \angle A_2A_1 \\
\end{align}
$$ 注意到二面角$\angle A_2A_1$和角$\angle C_1A_1B_1$互补，可得到： $$
\begin{align}
\cos \angle A_2A_1 &= \cos (180^{\circ} - \angle C_1A_1B_1) \\
&= -\cos \angle C_1A_1B_1 \\
&= - \sqrt{1-\frac{C_1B_1^2}{A_1C_1^2+B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1}\cdot \sin^2 \angle A_1C_1B_1}
\end{align}
$$ 将式6带入到式3中，可得： $$
\begin{align}
\cos \angle MA_2B_1 = &-\frac{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1}}{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1+A_1A_2^2}} \\
\\
&\times \sqrt{1-\frac{C_1B_1^2}{A_1C_1^2+B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1}\cdot \sin^2 \angle A_1C_1B_1} \\
\\
=&-\frac{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1-B_1C_1^2\cdot \sin^2 \angle A_1C_1B_1}}{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1+A_1A_2^2}} \\
\\
=& -\frac{\sqrt{A_1C_1^2 +B_1C_1^2\cdot \cos^2 \angle A_1C_1B_1-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1}}{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1+A_1A_2^2}}\\
\\
=&-\frac{|A_1C_1-B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1|}{\sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2-2\cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1\cdot \cos \angle A_1C_1B_1+A_1A_2^2}}
\end{align}
$$ 同理可的另一管道和间接管的夹角： $$
\begin{align}
\cos \angle NB_1A_2 &=- \frac{\sqrt{A_2C_2^2 \cdot \cos^2 \angle A_2C_2B_2+B_2C_2^2-2\cdot A_2C_2 \cdot B_2C_2\cdot \cos \angle A_2C_2B_2}}{\sqrt{A_2C_2^2 + B_2C_2^2-2\cdot A_2C_2 \cdot B_2C_2\cdot \cos \angle A_2C_2B_2+A_1A_2^2}}\\
\\
&=-\frac{|B_2C_2-A_2C_2\cdot \cos \angle A_2C_2B_2|}{\sqrt{A_2C_2^2 + B_2C_2^2-2\cdot A_2C_2 \cdot B_2C_2\cdot \cos \angle A_2C_2B_2+A_1A_2^2}}
\end{align}
$$   令两管道之间夹角等于$\theta$，距离等于$H$,投影交点到连接点的距离分别为$l_1$和$l_2$，与连接管的夹角分别为$\beta_1$和$\beta_2$，连接管长为$L$,则有： $$\cos \beta_1 =-\frac{|l_1-l_2\cdot \cos \theta|}{\sqrt{l_1^2+l_2^2 - 2l_1l_2\cdot\cos \theta + H^2}}$$ $$\cos \beta_2 =-\frac{|l_2-l_1\cdot \cos \theta|}{\sqrt{l_1^2+l_2^2 - 2l_1l_2\cdot\cos \theta + H^2}}$$ $$L=\sqrt{l_1^2+l_2^2 - 2l_1l_2\cdot\cos \theta + H^2}$$   上面的式子中，在已知$\beta_1$，$\beta_2$，$l_1$，$l_2$中任意两个的值（或者说设计需求值）的情况下可以计算出另外两个的值。

4. 需保证上下游弯头角度相等的特殊情况

要保证$\beta_1 = \beta_2$，那么需有 $$\sqrt{\frac{l_1^2+l_2^2\cdot \cos^2 \theta - 2l_1l_2\cdot\cos \theta}{l_1^2+l_2^2 - 2l_1l_2\cdot\cos \theta + H^2}}=\sqrt{\frac{l_1^2\cdot \cos^2 \theta+l_2^2 - 2l_1l_2\cdot\cos \theta}{l_1^2+l_2^2 - 2l_1l_2\cdot\cos \theta + H^2}}$$ 通过上式子可得：$l_1^2+l_2^2\cdot \cos^2 \theta=l_1^2\cdot \cos^2 \theta+l_2^2$，进而得$l_1=l_2$。因此：
不共面两管道的连接弯头角度相同的充要条件是：连接点到投影交点的距离相等。
令$l_1=l_2=l$，$\beta_1=\beta_2=\beta$，将其带入计算公式可得。 $$\cos \beta = -\frac{l\cdot(1-\cos \theta)}{\sqrt{2l^2\cdot(1-\cos \theta)+H^2}}$$ $$L=\sqrt{2l^2\cdot(1-\cos \theta)+H^2}$$